Номер 4.36, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.36. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Пусть даны две различные точки $A$ и $B$. Мы ищем геометрическое место точек $O$, которые являются центрами окружностей, проходящих через точки $A$ и $B$.

Если окружность с центром в точке $O$ проходит через точки $A$ и $B$, это означает, что точки $A$ и $B$ лежат на этой окружности. По определению окружности, все ее точки равноудалены от центра. Следовательно, расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно расстоянию от центра $O$ до точки $B$, так как оба эти расстояния равны радиусу $R$ окружности.

Таким образом, для любого такого центра $O$ должно выполняться равенство: $OA = OB$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему эти точки, и проходящей через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром.

Докажем, что искомое геометрическое место точек — это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

1. Докажем, что любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, является центром окружности, проходящей через $A$ и $B$.

Пусть точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $OA = OB$. Если мы примем это расстояние за радиус $R = OA = OB$, то окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ пройдет через обе точки $A$ и $B$.

2. Докажем, что центр любой окружности, проходящей через $A$ и $B$, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Пусть точка $O$ — центр некоторой окружности, проходящей через точки $A$ и $B$. Тогда отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой окружности, и, следовательно, их длины равны: $OA = OB$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от точек $A$ и $B$. Множество всех точек, равноудаленных от $A$ и $B$, и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Значит, точка $O$ принадлежит этому серединному перпендикуляру.

Таким образом, мы доказали, что множество центров окружностей, проходящих через две данные точки, полностью совпадает с множеством точек серединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему эти точки.

Ответ: Геометрическим местом центров окружностей, проходящих через две данные точки, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.