Номер 4.37, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.37. Найдите геометрическое место точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой.

Пусть дана прямая a и некоторое положительное число d, которое является заданным расстоянием. Требуется найти множество всех точек плоскости, расстояние от которых до прямой a равно d.

Вспомним, что расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

1. Возьмем любую точку M, которая удовлетворяет условию, то есть находится на расстоянии d от прямой a. Опустим из точки M перпендикуляр MP на прямую a. По определению, длина этого перпендикуляра равна d, то есть $MP = d$.

2. Точка M может находиться по одну или по другую сторону от прямой a. Для каждой точки P на прямой a существует ровно две точки, $M_1$ и $M_2$, которые лежат на прямой, перпендикулярной a и проходящей через P, такие, что $PM_1 = d$ и $PM_2 = d$.

3. Рассмотрим все точки, лежащие по одну сторону от прямой a и удаленные от нее на расстояние d. Множество этих точек образует прямую, параллельную прямой a. Назовем ее $a_1$.

4. Аналогично, множество всех точек, лежащих по другую сторону от прямой a и удаленных от нее на расстояние d, также образует прямую, параллельную прямой a. Назовем ее $a_2$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из двух прямых, каждая из которых параллельна данной прямой a и находится на расстоянии d от нее.

Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные по разные стороны от нее на данном расстоянии.