Номер 4.33, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.33. Даны точки А и В. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В?

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, обладающих некоторым заданным свойством. В данном случае свойство заключается в том, что каждая точка искомого множества должна быть равноудалена от двух заданных точек A и B.

Пусть M — произвольная точка, принадлежащая искомому ГМТ. Условие равноудалённости точки M от точек A и B можно записать в виде равенства длин отрезков: $MA = MB$.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Точки A и B совпадают ($A = B$). В этом случае условие $MA = MB$ превращается в тождество $MA = MA$, которое справедливо для любой точки M на плоскости или в пространстве. Следовательно, если точки A и B совпадают, искомым ГМТ является вся плоскость (если задача рассматривается в 2D) или всё пространство (если в 3D).

2. Точки A и B различны. Соединим их отрезком AB. Рассмотрим любую точку M, удовлетворяющую условию $MA = MB$. Точки A, B и M образуют равнобедренный треугольник $\triangle AMB$, в котором AB является основанием. Проведём медиану MO к основанию AB (где O — середина отрезка AB). По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MO \perp AB$. Это означает, что любая точка M, равноудалённая от A и B, лежит в множестве точек, перпендикулярном отрезку AB и проходящем через его середину.

Докажем и обратное утверждение: любая точка, принадлежащая этому множеству, равноудалена от A и B. Пусть M — любая точка, лежащая на прямой (в 2D) или в плоскости (в 3D), которая перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину O. Рассмотрим треугольники $\triangle MOA$ и $\triangle MOB$. Они являются прямоугольными, так как по определению $MO \perp AB$. В этих треугольниках:

- Катет $AO$ равен катету $BO$, так как O — середина AB.

- Катет $MO$ является общим.

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), $\triangle MOA \cong \triangle MOB$. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $MA = MB$.

Таким образом, мы доказали, что искомое геометрическое место точек — это фигура, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему. Вид этой фигуры зависит от размерности пространства:

- На плоскости (в 2D): это прямая, которую называют серединным перпендикуляром к отрезку AB.

- В пространстве (в 3D): это плоскость, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему.

Если в условии задачи не указана размерность, обычно по умолчанию имеется в виду задача на плоскости.

Ответ: Если точки A и B различны, то искомое геометрическое место точек — это серединный перпендикуляр к отрезку AB (прямая на плоскости) или плоскость, проходящая через середину отрезка AB и перпендикулярная ему (в пространстве). Если точки A и B совпадают, то искомым ГМТ являются все точки плоскости или пространства соответственно.