Номер 4.29, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.29. Как разделить дугу окружности пополам, если центр этой окружности не указан?

Для того чтобы разделить дугу окружности пополам, не зная ее центра, необходимо выполнить следующие построения с помощью циркуля и линейки без делений:

1. Пусть дана дуга. Обозначим ее концы буквами $A$ и $B$.
2. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком прямой. Этот отрезок $AB$ является хордой, стягивающей данную дугу.
3. Построим серединный перпендикуляр к хорде $AB$. Для этого:
   • Установим ножку циркуля в точку $A$ и начертим дугу радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$ (например, можно взять радиус, равный длине хорды $AB$).
   • Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку $B$ и начертим вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках. Обозначим эти точки пересечения $P$ и $Q$.
   • С помощью линейки проведём прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая является серединным перпендикуляром к хорде $AB$.
4. Точка, в которой построенный серединный перпендикуляр пересекает исходную дугу $AB$, является ее серединой. Обозначим эту точку $M$.

Обоснование:

Построенная прямая $PQ$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов. Так как точка $M$ лежит на прямой $PQ$ (и на дуге), то она равноудалена от точек $A$ и $B$. Следовательно, длины хорд $AM$ и $BM$ равны: $AM = BM$.

В одной и той же окружности равные хорды стягивают равные дуги. Поскольку хорды $AM$ и $BM$ равны, то и дуги, которые они стягивают, также равны: дуга $AM$ = дуга $BM$. Таким образом, точка $M$ делит исходную дугу $AB$ пополам.

Ответ: Необходимо соединить концы дуги хордой, а затем построить к этой хорде серединный перпендикуляр. Точка пересечения серединного перпендикуляра с дугой и будет ее серединой.