Номер 4.22, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.22. Докажите, что если две хорды окружности равноудалены от центра, то они равны.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две хорды этой окружности.

По условию, хорды равноудалены от центра. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой. Проведем перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$. Обозначим их основания как $M$ и $N$ соответственно.

Таким образом, мы имеем $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$. Из условия задачи следует, что $OM = ON$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$. Для этого соединим центр окружности $O$ с точками $A$ и $C$, которые лежат на окружности.

Сравним эти треугольники:

• Гипотенузы $OA$ и $OC$ равны, так как они являются радиусами одной и той же окружности ($OA = OC = R$).
• Катеты $OM$ и $ON$ равны по условию задачи ($OM = ON$).

Так как треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$ являются прямоугольными (по построению $OM$ и $ON$ — перпендикуляры), то они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, а именно катетов $AM$ и $CN$: $AM = CN$.

По свойству хорды, перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Это означает, что:

• $AB = 2 \cdot AM$
• $CD = 2 \cdot CN$

Поскольку мы доказали, что $AM = CN$, то, умножив обе части равенства на 2, получим $2 \cdot AM = 2 \cdot CN$.

Отсюда следует, что $AB = CD$.

Таким образом, мы доказали, что если две хорды окружности равноудалены от центра, то они равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.