Номер 4.15, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.15. Радиусы двух окружностей равны 3 см и 4 см, а расстояние между их центрами – 5 см. Имеют ли эти окружности общие точки?

Чтобы определить, имеют ли две окружности общие точки, нужно сравнить расстояние между их центрами с суммой и разностью их радиусов.

Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы окружностей, а $d$ — расстояние между их центрами.

По условию задачи нам дано:

$r_1 = 3$ см

$r_2 = 4$ см

$d = 5$ см

Две окружности имеют общие точки, если расстояние между их центрами не превышает сумму их радиусов и не меньше модуля разности их радиусов. То есть, окружности пересекаются в двух точках, если выполняется строгое неравенство $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, и касаются в одной точке, если $d = r_1 + r_2$ или $d = |r_1 - r_2|$.

1. Вычислим сумму радиусов:

$r_1 + r_2 = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 7 \text{ см}$

2. Вычислим модуль разности радиусов:

$|r_1 - r_2| = |3 \text{ см} - 4 \text{ см}| = |-1 \text{ см}| = 1 \text{ см}$

3. Сравним расстояние между центрами $d = 5$ см с полученными значениями:

Мы видим, что $1 \text{ см} < 5 \text{ см} < 7 \text{ см}$.

Таким образом, выполняется условие $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$. Это означает, что окружности пересекаются в двух различных точках.

Примечательно, что заданные числа $(3, 4, 5)$ образуют пифагорову тройку, так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Это значит, что $r_1^2 + r_2^2 = d^2$. Геометрически это означает, что треугольник, вершинами которого являются центры окружностей и одна из точек их пересечения, является прямоугольным.

Ответ: да, эти окружности имеют две общие точки (они пересекаются).