Номер 4.12, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.12. Через точку $\text{A}$, не лежащую на окружности, проведены касательные $\text{AB}$ и $\text{AC}$ к этой окружности, где $\text{B}$ и $\text{C}$ – точки касания. Докажите, что $AB = AC$.

Пусть O — центр окружности. Соединим точку A с центром окружности O, а также проведем радиусы OB и OC в точки касания B и C соответственно. Рассмотрим образовавшиеся треугольники: ΔOAB и ΔOAC.

Докажем, что эти треугольники равны.

1. Сторона AO является общей для обоих треугольников.

2. Стороны OB и OC равны, так как обе являются радиусами одной и той же окружности: $OB = OC$.

3. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что углы $∠OBA$ и $∠OCA$ являются прямыми, то есть $∠OBA = ∠OCA = 90°$. Таким образом, треугольники ΔOAB и ΔOAC — прямоугольные.

Поскольку прямоугольные треугольники ΔOAB и ΔOAC имеют общую гипотенузу AO и равные катеты OB и OC, они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет AB треугольника ΔOAB соответствует катету AC треугольника ΔOAC. Следовательно, $AB = AC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $AB = AC$, доказано.