Номер 4.18, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.18. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. Пусть $O_r$ — центр вписанной в него окружности, а $O_R$ — центр описанной около него окружности.

Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Наша задача — доказать, что для равностороннего треугольника эти две точки совпадают.

Для доказательства достаточно показать, что в равностороннем треугольнике каждая биссектриса является также и серединным перпендикуляром к противолежащей стороне.

Проведем в равностороннем треугольнике $ABC$ биссектрису $AD$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, то все его стороны равны ($AB = AC = BC$) и все углы равны $60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $AB=AC$, он является равнобедренным относительно основания $BC$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.

Следовательно, биссектриса $AD$ является медианой, а это значит, что точка $D$ — середина стороны $BC$.

Также $AD$ является высотой, а это значит, что $AD$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AD \perp BC$).

Из того, что прямая $AD$ проходит через середину отрезка $BC$ и перпендикулярна ему, следует, что $AD$ является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Аналогичные рассуждения можно применить к биссектрисам, проведенным из вершин $B$ и $C$. Каждая из них будет являться серединным перпендикуляром к противолежащей стороне ($AC$ и $AB$ соответственно).

Таким образом, три биссектрисы углов равностороннего треугольника $ABC$ являются одновременно и тремя серединными перпендикулярами к его сторонам. Следовательно, точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности) совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров (центром описанной окружности). Что и требовалось доказать.

Ответ: В равностороннем треугольнике биссектрисы углов являются одновременно медианами и высотами, а следовательно, и серединными перпендикулярами к сторонам. Поскольку центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис, а центр описанной окружности — точкой пересечения серединных перпендикуляров, то в равностороннем треугольнике эти центры совпадают.