Номер 4.17, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.17. Окружности с центрами $\text{O}$ и $O_1$ пересекаются в точках $\text{A}$ и $\text{B}$. Каждая окружность проходит через центр другой. Найдите углы $AOB$ и $OAO_1$.

Пусть радиус первой окружности с центром в точке $O$ будет $R_1$, а второй окружности с центром в точке $O_1$ — $R_2$.

По условию задачи, каждая окружность проходит через центр другой. Это означает, что расстояние между центрами $O$ и $O_1$ равно радиусу каждой из окружностей. То есть, расстояние $OO_1$ равно радиусу $R_1$ (так как $O_1$ лежит на первой окружности), и в то же время расстояние $OO_1$ равно радиусу $R_2$ (так как $O$ лежит на второй окружности). Таким образом, радиусы окружностей равны, и они равны расстоянию между их центрами: $R_1 = R_2 = OO_1$. Обозначим эту общую величину как $R$.

Рассмотрим треугольник $OAO_1$, где $A$ — одна из точек пересечения окружностей. Так как точка $A$ лежит на окружности с центром $O$, то отрезок $OA$ является ее радиусом, и $OA = R$. Так как точка $A$ лежит и на окружности с центром $O_1$, то отрезок $O_1A$ является ее радиусом, и $O_1A = R$. Расстояние между центрами $OO_1$ также равно $R$.

Получается, что в треугольнике $OAO_1$ все стороны равны: $OA = O_1A = OO_1 = R$. Следовательно, треугольник $OAO_1$ является равносторонним.

Аналогичные рассуждения применимы и ко второй точке пересечения $B$. Треугольник $OBO_1$ также является равносторонним, так как $OB = O_1B = OO_1 = R$.

Угол $AOB$

Угол $AOB$ является центральным углом в окружности с центром $O$. Он состоит из двух углов: $\angle AOO_1$ и $\angle BOO_1$, поскольку точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $OO_1$, соединяющей центры.

Из того, что треугольник $OAO_1$ является равносторонним, следует, что все его углы равны $60^\circ$. В частности, $\angle AOO_1 = 60^\circ$.

Из того, что треугольник $OBO_1$ является равносторонним, следует, что $\angle BOO_1 = 60^\circ$.

Следовательно, искомый угол $AOB$ равен сумме этих двух углов: $\angle AOB = \angle AOO_1 + \angle BOO_1 = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

Угол $OAO_1$

Угол $OAO_1$ является одним из внутренних углов треугольника $OAO_1$. Как было установлено выше, треугольник $OAO_1$ является равносторонним, поскольку все его стороны равны $R$.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.

Следовательно, $\angle OAO_1 = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.