Номер 4.20, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.20. Три окружности проходят через центры друг друга. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника.

Пусть центры трех окружностей обозначены как $O_1$, $O_2$ и $O_3$, а их радиусы — $R_1$, $R_2$ и $R_3$ соответственно. Точки $O_1$, $O_2$, $O_3$ образуют треугольник $\triangle O_1O_2O_3$. Нам нужно доказать, что этот треугольник является равносторонним.

Условие "три окружности проходят через центры друг друга" означает, что каждая окружность проходит через центры двух других. Запишем это математически:

1. Окружность с центром в $O_1$ и радиусом $R_1$ проходит через точки $O_2$ и $O_3$. По определению окружности, расстояние от центра до любой точки на ней равно радиусу. Следовательно, $|O_1O_2| = R_1$ и $|O_1O_3| = R_1$.

2. Окружность с центром в $O_2$ и радиусом $R_2$ проходит через точки $O_1$ и $O_3$. Аналогично, это означает, что $|O_2O_1| = R_2$ и $|O_2O_3| = R_2$.

3. Окружность с центром в $O_3$ и радиусом $R_3$ проходит через точки $O_1$ и $O_2$. Это означает, что $|O_3O_1| = R_3$ и $|O_3O_2| = R_3$.

Теперь сравним полученные равенства для отрезков, соединяющих центры. Расстояние между двумя точками не зависит от порядка, т.е. $|AB| = |BA|$.

Из п.1 и п.2 для отрезка $O_1O_2$ имеем $|O_1O_2| = R_1$ и $|O_2O_1| = R_2$. Отсюда следует, что $R_1 = R_2$.

Из п.2 и п.3 для отрезка $O_2O_3$ имеем $|O_2O_3| = R_2$ и $|O_3O_2| = R_3$. Отсюда следует, что $R_2 = R_3$.

Таким образом, мы доказали, что радиусы всех трех окружностей равны: $R_1 = R_2 = R_3$. Обозначим этот общий радиус как $R$.

Теперь найдем длины сторон треугольника $\triangle O_1O_2O_3$.

Длина стороны $O_1O_2$ равна $|O_1O_2|$. Мы знаем, что $|O_1O_2| = R_1$, а так как $R_1 = R$, то $|O_1O_2| = R$.

Длина стороны $O_2O_3$ равна $|O_2O_3|$. Мы знаем, что $|O_2O_3| = R_2$, а так как $R_2 = R$, то $|O_2O_3| = R$.

Длина стороны $O_3O_1$ равна $|O_3O_1|$. Мы знаем, что $|O_3O_1| = R_3$, а так как $R_3 = R$, то $|O_3O_1| = R$.

Поскольку все три стороны треугольника $\triangle O_1O_2O_3$ равны между собой ($|O_1O_2| = |O_2O_3| = |O_3O_1| = R$), этот треугольник по определению является равносторонним.

Ответ: Центры окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.