Номер 4.26, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.26. Две окружности с радиусами 4 см и 6 см имеют общий центр (их называют концентрическими окружностями). Найдите расстояние между их наиболее удаленными точками.

Пусть даны две концентрические окружности с общим центром в точке $O$. Радиус меньшей окружности $r_1 = 4$ см, а радиус большей окружности $r_2 = 6$ см. Необходимо найти расстояние между их наиболее удаленными точками.

Наиболее удаленные точки для всей фигуры, состоящей из двух окружностей, — это две точки, принадлежащие этой фигуре, расстояние между которыми максимально. Обозначим множество точек на первой окружности как $C_1$, а на второй — как $C_2$. Таким образом, мы ищем максимальное расстояние между двумя точками $A$ и $B$, где $A$ и $B$ могут принадлежать любой из этих двух окружностей ($A, B \in C_1 \cup C_2$).

Рассмотрим любые две точки $A$ и $B$ из этого множества. Согласно неравенству треугольника, расстояние между точками $A$ и $B$ не может превышать суммы их расстояний до общего центра $O$: $d(A, B) \le d(A, O) + d(B, O)$.

Расстояние от любой точки фигуры до центра $O$ не превышает радиуса большей окружности. То есть, для любой точки $P$ на одной из окружностей, $d(P, O) \le r_2 = 6$ см. Следовательно, для наших точек $A$ и $B$: $d(A, O) \le 6$ см и $d(B, O) \le 6$ см.

Подставив это в неравенство треугольника, получим: $d(A, B) \le 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Максимальное значение в 12 см достигается, когда точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой (коллинеарны), а точки $A$ и $B$ находятся по разные стороны от центра $O$. Это условие выполняется, если $A$ и $B$ являются диаметрально противоположными точками на большей окружности. В этом случае расстояние между ними равно диаметру этой окружности.

Таким образом, искомое расстояние равно диаметру большей окружности: $D = 2 \cdot r_2 = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.