Номер 4.23, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.23. Как построить касательную к окружности:

1) параллельно данной прямой;

2) перпендикулярно данной прямой?

1) параллельно данной прямой

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и некоторая прямая $l$. Требуется построить касательную к окружности, параллельную прямой $l$. Как известно, касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Если искомая касательная $k$ параллельна прямой $l$ ($k \parallel l$), а радиус $OT$ в точке касания $T$ перпендикулярен касательной $k$ ($OT \perp k$), то из этого следует, что радиус $OT$ должен быть также перпендикулярен и прямой $l$ ($OT \perp l$). Это свойство определяет следующий алгоритм построения:

1. Построить прямую $m$, проходящую через центр окружности $O$ и перпендикулярную данной прямой $l$.

2. Прямая $m$ (содержащая диаметр) пересекает окружность в двух точках. Обозначим эти точки $T_1$ и $T_2$.

3. Через точки $T_1$ и $T_2$ построить прямые $k_1$ и $k_2$, перпендикулярные прямой $m$ (и, соответственно, радиусам $OT_1$ и $OT_2$).

Построенные прямые $k_1$ и $k_2$ являются касательными к окружности, так как они перпендикулярны радиусам в их концах, лежащих на окружности. Поскольку $k_1 \perp m$ и $l \perp m$, то $k_1 \parallel l$. Аналогично, $k_2 \parallel l$. Таким образом, прямые $k_1$ и $k_2$ — искомые касательные. В общем случае задача имеет два решения.

Ответ: Для построения касательной, параллельной данной прямой, необходимо построить диаметр, перпендикулярный этой прямой. Прямые, проведенные через концы этого диаметра перпендикулярно ему, и будут искомыми касательными.

2) перпендикулярно данной прямой

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и прямая $l$. Требуется построить касательную к окружности, перпендикулярную прямой $l$. Касательная $k$ в точке $T$ на окружности перпендикулярна радиусу $OT$. Если мы требуем, чтобы касательная $k$ была перпендикулярна прямой $l$ ($k \perp l$), то из этого следует, что радиус $OT$, будучи перпендикулярным касательной $k$, должен быть параллелен прямой $l$ ($OT \parallel l$). Это свойство определяет следующий алгоритм построения:

1. Построить прямую $m$, проходящую через центр окружности $O$ и параллельную данной прямой $l$.

2. Прямая $m$ пересекает окружность в двух точках. Обозначим эти точки $T_1$ и $T_2$.

3. Через точки $T_1$ и $T_2$ построить прямые $k_1$ и $k_2$, перпендикулярные прямой $m$ (а значит, и радиусам $OT_1$ и $OT_2$, которые лежат на прямой $m$).

Построенные прямые $k_1$ и $k_2$ являются касательными к окружности. Поскольку $k_1 \perp m$ и $m \parallel l$, то $k_1 \perp l$. Аналогично, $k_2 \perp l$. Таким образом, прямые $k_1$ и $k_2$ — искомые касательные. В общем случае задача имеет два решения.

Ответ: Для построения касательной, перпендикулярной данной прямой, необходимо построить диаметр, параллельный этой прямой. Прямые, проведенные через концы этого диаметра перпендикулярно ему, и будут искомыми касательными.