Номер 4.21, страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.21. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от ее центра.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ и $CD$ — две равные хорды этой окружности, то есть $AB = CD$. Нам необходимо доказать, что эти хорды равноудалены от центра.

Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведём перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$. Нам нужно доказать, что $OH = OK$.

Соединим центр $O$ с точками $A$ и $C$. Рассмотрим получившиеся треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. Оба треугольника являются прямоугольными, так как $OH$ и $OK$ — перпендикуляры по построению.

Стороны $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому они равны: $OA = OC$. В прямоугольных треугольниках $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ эти стороны являются гипотенузами.

Согласно свойству окружности, перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $H$ — середина хорды $AB$, а точка $K$ — середина хорды $CD$. Это означает, что $AH = \frac{1}{2}AB$ и $CK = \frac{1}{2}CD$.

Так как по условию задачи хорды $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$), то их половины также равны: $AH = CK$. В треугольниках $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ это катеты.

Мы имеем два прямоугольных треугольника, $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$, у которых равны гипотенузы ($OA = OC$) и по одному катету ($AH = CK$). Следовательно, эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Значит, катет $OH$ треугольника $\triangle OHA$ равен катету $OK$ треугольника $\triangle OKC$.

$OH = OK$

Поскольку $OH$ и $OK$ — это расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ соответственно, их равенство означает, что равные хорды равноудалены от центра окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что равные хорды окружности равноудалены от ее центра.