Номер 4.25, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.25. Касательные к окружности, проведенные в концах хорды, равной радиусу, пересекаются. Найдите угол между этими касательными.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — хорда этой окружности, и по условию ее длина равна радиусу: $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R$. Так как по условию $AB = R$, то все стороны треугольника $\triangle OAB$ равны: $OA = OB = AB = R$. Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Таким образом, центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $\angle AOB = 60^\circ$.

Пусть в точках $A$ и $B$ к окружности проведены касательные, которые пересекаются в точке $C$. Угол между этими касательными — это угол $\angle ACB$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Отсюда следует, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми: $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $OACB$ имеем: $\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ$.

Подставим известные значения углов в это уравнение: $60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ$.

$240^\circ + \angle ACB = 360^\circ$.

Отсюда находим искомый угол $\angle ACB$: $\angle ACB = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.