Номер 4.31, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.31*. 1) Из точки А проведены две касательные АВ и АС к окружности. В и С - точки касания. Докажите, что $AB = AC$.

2) Докажите, что через одну точку не может проходить более двух касательных к окружности.

1) Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Из точки $A$ проведены две касательные $AB$ и $AC$, где $B$ и $C$ — точки касания.

Рассмотрим треугольники $ΔABO$ и $ΔACO$.

1. $OB = OC$ как радиусы одной и той же окружности.

2. Сторона $AO$ является общей для обоих треугольников.

3. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $∠ABO = 90°$ и $∠ACO = 90°$. Таким образом, треугольники $ΔABO$ и $ΔACO$ являются прямоугольными.

Поскольку у прямоугольных треугольников $ΔABO$ и $ΔACO$ равны гипотенуза (общая сторона $AO$) и катет ($OB = OC$), то эти треугольники равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Доказательство проведем от противного. Предположим, что из одной точки $A$ можно провести три (или более) касательные к окружности. Обозначим точки касания как $B$, $C$ и $D$.

Согласно доказанному в пункте 1, отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, если бы существовало три касательные из точки $A$ с точками касания $B$, $C$ и $D$, то должны были бы выполняться равенства:

$AB = AC$

$AC = AD$

Отсюда следует, что $AB = AC = AD$.

Это означает, что точки касания $B$, $C$ и $D$ равноудалены от точки $A$ и лежат на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $R = AB = AC = AD$.

В то же время, по определению, точки $B$, $C$ и $D$ лежат на исходной окружности (назовем ее $\omega$).

Таким образом, три различные точки $B$, $C$ и $D$ являются общими точками для двух окружностей: исходной окружности $\omega$ и окружности с центром в $A$.

Однако две различные окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Полученное противоречие (три точки пересечения вместо максимум двух) означает, что наше первоначальное предположение неверно.

Следовательно, из одной точки к окружности нельзя провести более двух касательных.

Ответ: Что и требовалось доказать.