Вопросы, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как построить угол, равный данному углу?

2. Как построить биссектрису данного угла?

3. Как разделить отрезок пополам?

4. Как провести перпендикуляр к заданной прямой, проходящий через заданную точку?

5. Как построить треугольник по трем элементам:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по трем сторонам;

в) по стороне и двум прилежащим углам?

6. Что такое задача на построение? В чем заключается анализ, построение, доказательство и исследование при решении такой задачи?

1. Как построить угол, равный данному углу?

Пусть дан угол с вершиной A и требуется построить равный ему угол с вершиной в точке O' на некотором луче.

1. С центром в вершине A данного угла проведем окружность (дугу) произвольного радиуса r. Она пересечет стороны угла в точках B и C.

2. С центром в точке O' проведем окружность (дугу) того же радиуса r. Она пересечет заданный луч в точке C'.

3. Циркулем измерим расстояние между точками B и C (длину хорды BC).

4. С центром в точке C' проведем окружность (дугу) радиусом, равным BC. Она пересечет дугу, построенную в шаге 2, в точке B'.

5. Проведем луч O'B'.

Угол B'O'C' будет равен данному углу BAC. Это следует из равенства треугольников ABC и O'B'C' по трем сторонам (AC = O'C' = r, AB = O'B' = r, BC = B'C' по построению).

Ответ: Для построения угла, равного данному, необходимо с помощью циркуля и линейки построить треугольник, равный треугольнику, образованному вершиной исходного угла и двумя точками на его сторонах.

2. Как построить биссектрису данного угла?

Пусть дан угол с вершиной A.

1. С центром в вершине A проведем окружность (дугу) произвольного радиуса. Она пересечет стороны угла в точках B и C.

2. Из точек B и C как из центров проведем две окружности (дуги) одинакового, произвольно выбранного радиуса (достаточно большого, чтобы они пересеклись). Точку их пересечения внутри угла обозначим D.

3. Проведем луч AD.

Луч AD является биссектрисой угла BAC. Это следует из равенства треугольников ABD и ACD по трем сторонам (AB = AC как радиусы первой окружности, BD = CD как радиусы двух одинаковых окружностей, а сторона AD — общая).

Ответ: Биссектриса угла строится как луч, проходящий через вершину угла и точку пересечения двух одинаковых дуг, проведенных из точек на сторонах угла, равноудаленных от вершины.

3. Как разделить отрезок пополам?

Пусть дан отрезок AB. Требуется найти его середину.

1. Из точки A как из центра проведем окружность (дугу) радиусом R, большим половины длины отрезка AB (R > AB/2).

2. Из точки B как из центра проведем окружность (дугу) тем же радиусом R.

3. Эти две дуги пересекутся в двух точках, назовем их C и D.

4. Проведем прямую через точки C и D.

Точка пересечения прямой CD и отрезка AB, обозначим ее M, и будет серединой отрезка AB. Прямая CD является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Ответ: Чтобы разделить отрезок пополам, нужно построить его серединный перпендикуляр, который находится как прямая, проходящая через две точки пересечения окружностей одинакового радиуса (большего половины отрезка), проведенных из концов отрезка.

4. Как провести перпендикуляр к заданной прямой, проходящий через заданную точку?

Возможны два случая.

Случай 1: Точка P лежит на прямой a.

1. С центром в точке P проведем окружность произвольного радиуса, которая пересечет прямую a в двух точках, A и B.

2. Из точек A и B как из центров проведем две дуги одинакового радиуса, большего, чем радиус из шага 1. Эти дуги пересекутся в точке Q.

3. Проведем прямую через точки P и Q.

Прямая PQ будет перпендикулярна прямой a.

Случай 2: Точка P не лежит на прямой a.

1. С центром в точке P проведем окружность (дугу) такого радиуса, чтобы она пересекла прямую a в двух точках, A и B.

2. Из точек A и B как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (например, равного PA). Они пересекутся в точке P и в другой точке Q, лежащей по другую сторону от прямой a.

3. Проведем прямую через точки P и Q.

Прямая PQ будет перпендикулярна прямой a.

Ответ: Перпендикуляр строится на основе построения серединного перпендикуляра к отрезку, концы которого симметричны относительно исходной точки (если она на прямой) или лежат на прямой и равноудалены от исходной точки (если она вне прямой).

5. Как построить треугольник по трем элементам:

а) по двум сторонам и углу между ними;

Пусть даны два отрезка a, b и угол γ.

1. Проведем произвольный луч и отложим на нем от начальной точки C отрезок CB, равный a.

2. От луча CB в точке C отложим угол, равный данному углу γ (см. задачу 1).

3. На второй стороне построенного угла отложим от вершины C отрезок CA, равный b.

4. Соединим точки A и B отрезком.

Треугольник ABC — искомый.

Ответ: Построение выполняется путем последовательного откладывания одной стороны, затем угла от одного из ее концов и, наконец, второй стороны на луче, образующем построенный угол.

б) по трем сторонам;

Пусть даны три отрезка a, b, c, для которых выполняется неравенство треугольника (сумма длин любых двух сторон больше длины третьей).

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок AB, равный c.

2. Из точки A как из центра проведем окружность (дугу) радиусом, равным b.

3. Из точки B как из центра проведем окружность (дугу) радиусом, равным a.

4. Точку пересечения этих дуг обозначим C. (Если неравенство треугольника выполняется, такая точка существует).

5. Соединим точку C с точками A и B.

Треугольник ABC — искомый.

Ответ: Построение выполняется путем откладывания одной стороны, а затем нахождения третьей вершины как точки пересечения двух окружностей, проведенных из концов первой стороны с радиусами, равными двум другим сторонам.

в) по стороне и двум прилежащим углам?

Пусть дан отрезок c и два угла α и β, таких что их сумма меньше 180° ($α + β < 180°$).

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок AB, равный c.

2. От луча AB в точке A отложим угол, равный α. Проведем второй луч этого угла.

3. От луча BA в точке B отложим угол, равный β. Проведем второй луч этого угла.

4. Точку пересечения построенных на шагах 2 и 3 лучей обозначим C. (Если $α + β < 180°$, лучи пересекутся).

Треугольник ABC — искомый.

Ответ: Построение выполняется путем откладывания данной стороны, а затем построения от ее концов двух данных углов; третья вершина находится на пересечении сторон этих углов.

6. Что такое задача на построение? В чем заключается анализ, построение, доказательство и исследование при решении такой задачи?

Задача на построение — это тип геометрической задачи, в которой требуется построить (начертить) геометрическую фигуру, обладающую заданными свойствами, с помощью определенного набора инструментов, классически — циркуля и линейки без делений.

Решение такой задачи, как правило, включает четыре этапа:

1. Анализ. На этом этапе предполагается, что задача уже решена, то есть искомая фигура построена. Изучаются свойства этой фигуры, устанавливаются связи между данными задачи и искомыми элементами. Цель анализа — найти логическую цепочку, которая приведет к плану построения. Это своего рода работа "от конца к началу".

2. Построение. На основе плана, разработанного в ходе анализа, выполняется последовательность элементарных построений с помощью циркуля и линейки. Этот этап представляет собой четкий алгоритм, описание шагов, которые необходимо выполнить для получения искомой фигуры.

3. Доказательство. После того как фигура построена, необходимо доказать, что она действительно обладает всеми требуемыми свойствами. На этом этапе с помощью аксиом и теорем геометрии строго обосновывается корректность выполненного построения.

4. Исследование. На этом этапе выясняется, при каких условиях (для каких исходных данных) задача имеет решение. Определяется, сколько решений может иметь задача в зависимости от данных (может быть одно решение, два, бесконечно много или ни одного). Например, при построении треугольника по трем сторонам исследование показывает, что задача имеет решение только тогда, когда выполняется неравенство треугольника.

Ответ: Задача на построение — это задача на создание фигуры с помощью циркуля и линейки. Ее решение состоит из четырех этапов: анализ (поиск пути решения), построение (выполнение чертежа), доказательство (обоснование правильности) и исследование (определение условий существования и количества решений).