Номер 4.38, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.38. Найдите геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые, назовем их a и b. Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Обозначим это расстояние как h. Мы ищем геометрическое место точек M, для которых расстояние до прямой a равно расстоянию до прямой b. Обозначим это условие как $d(M, a) = d(M, b)$.

Рассмотрим произвольную точку A на прямой a. Проведем из нее перпендикуляр к прямой b, и пусть B — точка их пересечения. Длина отрезка AB равна расстоянию между прямыми, то есть $AB = h$.

Теперь рассмотрим любую точку M, которая равноудалена от прямых a и b. Проведем через точку M прямую, перпендикулярную прямым a и b. Пусть она пересекает прямую a в точке P и прямую b в точке Q. Тогда отрезок PQ является общим перпендикуляром, и его длина равна h.

Расстояние от точки M до прямой a — это длина перпендикуляра MP, а расстояние до прямой b — это длина перпендикуляра MQ. По условию, точка M равноудалена от прямых a и b, следовательно, $MP = MQ$.

Точки P, M и Q лежат на одной прямой (перпендикуляре к a и b), и при этом $PQ = MP + MQ$. Так как $MP = MQ$, то $PQ = 2 \cdot MP$, откуда $MP = \frac{PQ}{2} = \frac{h}{2}$.

Таким образом, любая точка M, удовлетворяющая условию, находится на расстоянии $\frac{h}{2}$ от прямой a (и от прямой b). Множество всех точек, расположенных на данном расстоянии от данной прямой, представляет собой две параллельные ей прямые, по одной с каждой стороны. В нашем случае, поскольку точка M должна находиться на расстоянии $\frac{h}{2}$ и от прямой a, и от прямой b, она должна лежать на прямой, расположенной между прямыми a и b.

Эта прямая, назовем ее c, параллельна прямым a и b и проходит ровно посередине между ними.

Докажем обратное: любая точка на прямой c равноудалена от a и b. Пусть M' — произвольная точка на прямой c. Проведем через нее перпендикуляр к a и b, который пересечет их в точках P' и Q' соответственно. Так как прямая c проходит посередине между a и b, то точка M' является серединой отрезка P'Q'. Следовательно, $M'P' = M'Q'$, что и означает, что точка M' равноудалена от прямых a и b.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых, есть прямая, параллельная этим прямым и проходящая посередине между ними.