Номер 4.39, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.39. Даны отрезок $\text{PQ}$ и угол $(hk)$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы:

1) $AB=PQ$, $\angle ABC = \angle(hk)$, $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle(hk)$;

2) $AB = PQ$, $\angle ABC = \angle(hk)$, $\angle BAC = \frac{1}{4} \angle(hk)$.

Для решения задачи используются классические методы построения с помощью циркуля и линейки: построение отрезка, равного данному, построение угла, равного данному, и построение биссектрисы угла.

Построение требуемого треугольника $ABC$ основывается на втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Алгоритм состоит из двух основных этапов.

Этап 1: Построение угла, равного $\frac{1}{2}\angle(hk)$

Чтобы получить угол $\angle BAC$, необходимо построить биссектрису данного угла $\angle(hk)$.

1. Пусть $O$ — вершина данного угла $\angle(hk)$, а $h$ и $k$ — его стороны (лучи). Проведем с помощью циркуля дугу окружности с центром в точке $O$ произвольного радиуса. Эта дуга пересечет стороны угла в точках $M$ и $N$.
2. С центрами в точках $M$ и $N$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина длины отрезка $MN$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Обозначим точку их пересечения $L$.
3. Проведем луч $OL$. Этот луч является биссектрисой угла $\angle(hk)$. Угол, образованный лучом $OL$ и любой из сторон $h$ или $k$, равен $\frac{1}{2}\angle(hk)$.

Этап 2: Построение треугольника $ABC$

1. На произвольной прямой $a$ выберем точку $A$.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $PQ$ и отложим ее на прямой $a$ от точки $A$. Получим точку $B$. Таким образом, построен отрезок $AB = PQ$.
3. В точке $A$ построим угол, равный $\frac{1}{2}\angle(hk)$ (полученному на этапе 1). Одна сторона этого угла должна лежать на луче $AB$. Проведем второй луч этого угла, который обозначим $m$.
4. В точке $B$ построим угол, равный данному углу $\angle(hk)$. Одна сторона этого угла должна лежать на луче $BA$, а сам угол должен находиться в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и угол при вершине $A$. Проведем второй луч этого угла, который обозначим $n$.
5. Лучи $m$ и $n$ пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $C$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым, так как по построению его сторона $AB$ равна $PQ$, а прилежащие к ней углы $\angle BAC$ и $\angle ABC$ равны $\frac{1}{2}\angle(hk)$ и $\angle(hk)$ соответственно. Построение возможно, если сумма углов при стороне $AB$ меньше $180^\circ$, то есть $\angle(hk) + \frac{1}{2}\angle(hk) < 180^\circ$, или $\frac{3}{2}\angle(hk) < 180^\circ$, что означает $\angle(hk) < 120^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен.

Построение этого треугольника выполняется аналогично предыдущему пункту, однако требует построения угла, равного четверти от данного.

Этап 1: Построение угла, равного $\frac{1}{4}\angle(hk)$

Для получения угла $\angle BAC$ необходимо дважды применить процедуру построения биссектрисы.

1. Сначала, как и в пункте 1, строим биссектрису угла $\angle(hk)$. В результате получаем угол, равный $\frac{1}{2}\angle(hk)$.
2. Затем для этого нового угла (равного $\frac{1}{2}\angle(hk)$) снова строим биссектрису, используя тот же метод. Полученный в итоге угол будет равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\angle(hk) = \frac{1}{4}\angle(hk)$.

Этап 2: Построение треугольника $ABC$

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AB$, равный по длине отрезку $PQ$.
2. В точке $A$ от луча $AB$ отложим угол, равный построенному углу $\frac{1}{4}\angle(hk)$. Получим луч $m$.
3. В точке $B$ от луча $BA$ в ту же полуплоскость отложим угол, равный данному углу $\angle(hk)$. Получим луч $n$.
4. Точка пересечения лучей $m$ и $n$ является третьей вершиной искомого треугольника, точкой $C$.

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям: $AB=PQ$, $\angle BAC = \frac{1}{4}\angle(hk)$ и $\angle ABC = \angle(hk)$. Построение возможно, если $\angle(hk) + \frac{1}{4}\angle(hk) < 180^\circ$, или $\frac{5}{4}\angle(hk) < 180^\circ$, что означает $\angle(hk) < 144^\circ$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен.