Номер 4.40, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.40. Даны два угла $(hk)$, $(h_1 k_1)$ и отрезок $\text{PQ}$. Постройте треугольник $ABC$ так, чтобы $AB = PQ$, $\angle A = \angle(hk)$, $\angle B = \frac{1}{2}\angle(h_1 k_1)$.

Задача заключается в построении треугольника по заданной стороне и двум прилежащим к ней углам. Один из этих углов задан напрямую, а другой равен половине второго заданного угла. Такое построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Анализ

Предположим, искомый треугольник $ABC$ построен. По условию, сторона $AB$ должна быть равна отрезку $PQ$, угол $\angle A$ должен быть равен углу $\angle(hk)$, а угол $\angle B$ должен быть равен $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$. Основываясь на втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), мы можем построить треугольник, выполнив следующие шаги: построить сторону $AB$ заданной длины, а затем от ее концов $A$ и $B$ отложить заданные углы. Пересечение сторон этих углов даст нам третью вершину $C$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.

2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $PQ$. Отложим эту длину на прямой от точки $A$, получив точку $B$. Таким образом, отрезок $AB$ будет равен $PQ$.

3. Построим угол, равный данному углу $\angle(hk)$, с вершиной в точке $A$ так, чтобы одна из его сторон совпадала с лучом $AB$. Для этого с помощью циркуля и линейки скопируем угол $\angle(hk)$ в вершину $A$. Пусть полученный луч, выходящий из $A$, будет лучом $l$.

4. Теперь нам необходимо построить угол $\angle B$, равный $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$. Для этого сначала нужно построить биссектрису угла $\angle(h_1k_1)$.

а) Возьмем данный угол $\angle(h_1k_1)$. Проведем циркулем дугу с центром в вершине угла, которая пересечет его стороны в двух точках.

б) Из этих двух точек проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла так, чтобы они пересеклись.

в) Проведем луч из вершины угла через точку пересечения дуг. Этот луч является биссектрисой, и он делит угол $\angle(h_1k_1)$ на два равных угла, каждый из которых равен $\frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$.

5. Построим угол, равный полученной половине угла $\angle(h_1k_1)$, с вершиной в точке $B$ так, чтобы одна из его сторон совпадала с лучом $BA$. Вторая сторона угла должна лежать в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и луч $l$. Пусть полученный луч, выходящий из $B$, будет лучом $m$.

6. Точка пересечения лучей $l$ и $m$ является третьей вершиной искомого треугольника. Обозначим ее $C$.

7. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Сторона $AB = PQ$ по построению (шаг 2).

• Угол $\angle A = \angle(hk)$ по построению (шаг 3).

• Угол $\angle B = \frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$ по построению (шаги 4 и 5).

Следовательно, треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Построение возможно, если лучи $l$ и $m$ пересекаются. Это произойдет, если сумма углов $\angle A$ и $\angle B$ будет меньше $180^\circ$. То есть, для существования решения необходимо выполнение условия $\angle(hk) + \frac{1}{2}\angle(h_1k_1) < 180^\circ$. Если это условие выполняется, решение единственно. Если $\angle(hk) + \frac{1}{2}\angle(h_1k_1) \geq 180^\circ$, то лучи не пересекутся (будут параллельны или расходящимися), и построить треугольник невозможно.

Ответ: Треугольник $ABC$, удовлетворяющий условиям $AB = PQ$, $\angle A = \angle(hk)$ и $\angle B = \frac{1}{2}\angle(h_1k_1)$, построен с помощью циркуля и линейки согласно описанному алгоритму.