Номер 4.32, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.32*. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$. Докажите, что $AC_1 = \frac{1}{2} (AB + AC - BC)$.

Пусть окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон. Согласно стандартным обозначениям, точка $A_1$ является точкой касания на стороне $BC$, точка $B_1$ — на стороне $AC$, и точка $C_1$ — на стороне $AB$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, длины отрезков касательных от вершины треугольника до точек касания равны.

Для вершин треугольника $ABC$ это означает:

• $AC_1 = AB_1$ (касательные из точки $A$)
• $BC_1 = BA_1$ (касательные из точки $B$)
• $CB_1 = CA_1$ (касательные из точки $C$)

Для удобства введем следующие обозначения для длин этих отрезков:

Пусть $x = AC_1 = AB_1$.

Пусть $y = BC_1 = BA_1$.

Пусть $z = CA_1 = CB_1$.

Теперь выразим длины сторон треугольника $ABC$ через $x, y, z$:

$AB = AC_1 + C_1B = x + y$

$AC = AB_1 + B_1C = x + z$

$BC = BA_1 + A_1C = y + z$

Рассмотрим выражение, данное в правой части доказываемого равенства: $\frac{1}{2}(AB + AC - BC)$.

Подставим в него выражения для сторон $AB$, $AC$ и $BC$:

$\frac{1}{2}((x + y) + (x + z) - (y + z))$

Теперь упростим выражение в скобках:

$(x + y) + (x + z) - (y + z) = x + y + x + z - y - z = 2x$

Подставим результат обратно в исходное выражение:

$\frac{1}{2}(2x) = x$

Вспомним, что по нашему обозначению $x = AC_1$.

Таким образом, мы показали, что $\frac{1}{2}(AB + AC - BC) = AC_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.