Номер 4.14, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.14. Из точки на окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — точка на этой окружности. Из точки $A$ проведены две хорды, $AB$ и $AC$, и по условию задачи их длины равны радиусу окружности: $AB = R$ и $AC = R$. Требуется найти угол между этими хордами, то есть $\angle BAC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Его стороны: $OA = R$ (радиус), $OB = R$ (радиус) и $AB = R$ (по условию). Так как все три стороны треугольника равны, $\triangle OAB$ является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, следовательно, $\angle OAB = 60^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Его стороны: $OA = R$ (радиус), $OC = R$ (радиус) и $AC = R$ (по условию). Этот треугольник также является равносторонним. Следовательно, $\angle OAC = 60^\circ$.

В задаче говорится о двух хордах, $AB$ и $AC$, что подразумевает, что они различны, а значит, точки $B$ и $C$ не совпадают. Из точки $A$ можно провести только две различные хорды длины $R$. Эти две хорды будут расположены симметрично относительно диаметра, проходящего через точку $A$. Это означает, что центр окружности $O$ будет находиться внутри угла $\angle BAC$.

Поскольку точка $O$ лежит внутри угла $\angle BAC$, этот угол можно найти как сумму двух углов, на которые его делит отрезок $OA$:

$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC$

Подставив найденные значения углов, получаем:

$\angle BAC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$

Другой возможный случай, когда хорды лежат по одну сторону от диаметра, проходящего через точку $A$, привел бы к совпадению точек $B$ и $C$, что противоречит условию о двух различных хордах.

Ответ: $120^\circ$