Номер 4.7, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.7. Сколько различных касательных можно провести к окружности через заданную точку, лежащую:

1) вне окружности;

2) на окружности;

3) внутри окружности?

1) вне окружности

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Если точка $A$ лежит вне окружности, то расстояние от центра до этой точки больше радиуса: $OA > R$. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Пусть $T$ — точка касания. Тогда треугольник $OAT$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $T$. Гипотенузой этого треугольника является отрезок $OA$, а катетами — радиус $OT=R$ и отрезок касательной $AT$. Точки касания лежат на окружности, построенной на отрезке $OA$ как на диаметре. Так как $OA > R$, эта окружность пересечет исходную в двух различных точках. Следовательно, существуют две различные точки касания и, соответственно, две различные касательные, которые можно провести из точки $A$ к окружности.

Ответ: 2.

2) на окружности

Если точка $A$ лежит на окружности, то расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно радиусу: $OA = R$. По определению, касательная в данной точке окружности — это прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная радиусу, проведенному в эту точку. Для точки $A$ на окружности существует единственный радиус $OA$. Через точку $A$ можно провести только одну прямую, перпендикулярную прямой $OA$. Эта прямая и будет единственной касательной. Любая другая прямая, проходящая через точку $A$, будет пересекать окружность в двух точках (будет секущей).

Ответ: 1.

3) внутри окружности

Если точка $A$ лежит внутри окружности, то расстояние от центра $O$ до точки $A$ меньше радиуса: $OA < R$. Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу. Для любой прямой, проходящей через внутреннюю точку $A$, расстояние от центра $O$ до этой прямой будет меньше или равно расстоянию $OA$. Так как $OA < R$, то расстояние от центра до любой прямой, проходящей через точку $A$, будет строго меньше радиуса. Следовательно, ни одна из таких прямых не может быть касательной. Любая прямая, проходящая через точку внутри окружности, является секущей.

Ответ: 0.