Практические задания, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

С помощью монеты или другого круглого шаблона начертите окружность и на глаз определите ее центр. Предложите методы, с помощью которых можно точно определить центр окружности, если он не задан.

Первая часть задания, в которой предлагается начертить окружность и определить ее центр на глаз, является упражнением на глазомер. Для точного же определения центра окружности, если он не задан, существуют строгие геометрические методы. Вот два из них.

Способ 1: Построение серединных перпендикуляров к хордам

Данный метод основан на фундаментальном свойстве окружности: серединный перпендикуляр к любой хорде всегда проходит через ее центр. Таким образом, найдя точку пересечения двух таких перпендикуляров, построенных для двух непараллельных хорд, мы найдем искомый центр.

Для этого на окружности необходимо выбрать три произвольные точки, не лежащие на одной прямой, например, $A$, $B$ и $C$. Соединив их, мы получим две хорды: $AB$ и $BC$. Далее, с помощью циркуля и линейки нужно построить серединный перпендикуляр к хорде $AB$. Это делается проведением из точек $A$ и $B$ дуг одинакового радиуса (больше половины длины $AB$) так, чтобы они пересеклись с обеих сторон от хорды. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, и будет серединным перпендикуляром. Аналогичная процедура повторяется для хорды $BC$. Точка пересечения двух построенных перпендикуляров и есть центр окружности.

Ответ: Центром окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к двум ее непараллельным хордам.

Способ 2: Построение диаметров с помощью прямого угла

Этот способ опирается на следствие из теоремы о вписанном угле (или теорему Фалеса): вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Верно и обратное: если вписанный угол прямой, то хорда, на которую он опирается, является диаметром.

Для реализации этого метода понадобится чертежный угольник или любой другой предмет с прямым углом. Вершину прямого угла нужно совместить с любой точкой $P$ на окружности. Затем отметить две точки, $A$ и $B$, в которых стороны угла пересекают окружность. Отрезок $AB$, соединяющий эти точки, будет являться диаметром. Чтобы найти центр, достаточно найти середину этого диаметра. Для большей точности можно построить второй диаметр $CD$, повторив процедуру для другой точки на окружности, и найти точку пересечения двух диаметров $AB$ и $CD$. Эта точка и будет центром.

Ответ: Центром окружности является точка пересечения ее диаметров. Диаметр можно построить, соединив точки, в которых стороны прямого угла, с вершиной на окружности, пересекают эту окружность.