Вопросы, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?

2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

3. Какую окружность называют описанной около треугольника?

4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

5. Какая прямая называется касательной к окружности?

6. Чем отличается внешнее касание окружностей от внутреннего?

7. Какую окружность называют вписанной в треугольник?

8. Докажите, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении его биссектрис.

1. Что такое окружность, центр окружности, радиус?

Окружность — это геометрическая фигура на плоскости, состоящая из всех точек, равноудаленных от одной данной точки. Эту точку называют центром окружности. Окружность является замкнутой кривой.

Центр окружности — это точка, от которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии. Обычно центр обозначается буквой $O$.

Радиус — это расстояние от центра окружности до любой её точки. Также радиусом называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. Радиус обычно обозначается буквой $r$ или $R$.

Ответ: Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Радиус — это расстояние (или отрезок) от центра до любой точки окружности.

2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

Хорда окружности — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.

Диаметром называется хорда, которая проходит через центр окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности. Его длина равна двум радиусам ($D = 2R$).

Ответ: Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

3. Какую окружность называют описанной около треугольника?

Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины этого треугольника. В этом случае сам треугольник называют вписанным в окружность. У любого треугольника существует единственная описанная окружность.

Ответ: Описанной около треугольника называют окружность, которая проходит через все три его вершины.

4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам.

Пусть дана окружность, описанная около треугольника $ABC$. Обозначим центр этой окружности точкой $O$.

1. Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$, то расстояния от центра до каждой из вершин равны радиусу этой окружности: $OA = OB = OC = R$.

2. Рассмотрим отрезок $AB$. Так как $OA = OB$, точка $O$ равноудалена от концов отрезка $AB$. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.

3. Аналогично, из равенства $OB = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

4. Из равенства $OA = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, точка $O$ одновременно принадлежит всем трем серединным перпендикулярам к сторонам треугольника $ABC$, а значит, является точкой их пересечения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника, а множество точек, равноудаленных от двух данных точек (вершин), является серединным перпендикуляром к соединяющему их отрезку (стороне). Поэтому центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

5. Какая прямая называется касательной к окружности?

Касательной к окружности называется прямая, которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней ровно одну общую точку. Эта общая точка называется точкой касания.

Важным свойством касательной является то, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Ответ: Касательная — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку.

6. Чем отличается внешнее касание окружностей от внутреннего?

Две окружности, имеющие одну общую точку, называются касающимися. Существует два вида касания: внешнее и внутреннее.

Внешнее касание:

• Центры окружностей лежат по разные стороны от общей точки касания (если рассматривать линию, соединяющую центры).
• Окружности лежат вне друг друга.
• Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.

Внутреннее касание:

• Центры окружностей лежат по одну сторону от точки касания.
• Одна окружность (меньшая) находится внутри другой (большей).
• Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов: $d = |R_1 - R_2|$.

В обоих случаях точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.

Ответ: При внешнем касании окружности лежат вне друг друга, и расстояние между центрами равно сумме радиусов. При внутреннем — одна окружность внутри другой, и расстояние между центрами равно разности радиусов.

7. Какую окружность называют вписанной в треугольник?

Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех трех сторон этого треугольника. В этом случае сам треугольник называют описанным около окружности. В любой треугольник можно вписать единственную окружность.

Ответ: Вписанной в треугольник называют окружность, которая касается всех трех его сторон.

8. Докажите, что центр вписанной в треугольник окружности находится на пересечении его биссектрис.

Пусть в треугольник $ABC$ вписана окружность с центром в точке $I$. Пусть $P$, $Q$ и $R$ — точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно.

1. По определению, центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Таким образом, отрезки $IP$, $IQ$, $IR$ являются радиусами вписанной окружности $r$ и перпендикулярны сторонам треугольника: $IP \perp AB$, $IQ \perp BC$, $IR \perp AC$. Отсюда следует, что $IP = IQ = IR = r$.

2. Рассмотрим угол $A$ треугольника. Точка $I$ равноудалена от его сторон $AB$ и $AC$, так как $IP = IR$. Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе угла $A$.

3. Аналогично, из равенства $IP = IQ$ следует, что точка $I$ равноудалена от сторон угла $B$, значит, она лежит на биссектрисе угла $B$.

4. Из равенства $IQ = IR$ следует, что точка $I$ равноудалена от сторон угла $C$, значит, она лежит на биссектрисе угла $C$.

Таким образом, центр вписанной окружности $I$ принадлежит всем трем биссектрисам углов треугольника, то есть является точкой их пересечения. Что и требовалось доказать.

Ответ: Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника, а множество точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектрисой. Поэтому центр лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.