Номер 9, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Дано: $\angle P = \angle K = 90^\circ$, $MP = KA.$

Доказать: $ME = EA.$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MPA$ и $\triangle AKM$.

По условию задачи дано, что $\angle P = \angle K = 90^\circ$. Из чертежа следует, что речь идет об углах $\angle MPA = 90^\circ$ и $\angle AKM = 90^\circ$.

В данных треугольниках сторона $MA$ является общей, и она лежит напротив прямых углов, следовательно, $MA$ — общая гипотенуза.

Также по условию нам дано, что катет $MP$ треугольника $\triangle MPA$ равен катету $AK$ треугольника $\triangle AKM$: $MP = AK$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle MPA$ и $\triangle AKM$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует и равенство их соответственных углов. Угол, лежащий напротив катета $MP$ в треугольнике $\triangle MPA$, — это $\angle PAM$. Угол, лежащий напротив равного ему катета $AK$ в треугольнике $\triangle AKM$, — это $\angle KMA$. Следовательно, $\angle PAM = \angle KMA$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MEA$. Точка $E$ является точкой пересечения отрезков $PA$ и $MK$.

Углы $\angle EAM$ и $\angle EMA$ этого треугольника совпадают с углами $\angle PAM$ и $\angle KMA$ соответственно, так как точки $E$, $P$, $A$ лежат на одной прямой и точки $E$, $K$, $M$ лежат на одной прямой.

Поскольку мы доказали, что $\angle PAM = \angle KMA$, то отсюда следует, что $\angle EAM = \angle EMA$.

Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Значит, треугольник $\triangle MEA$ — равнобедренный с основанием $MA$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $ME$ лежит напротив угла $\angle EAM$, а сторона $EA$ лежит напротив угла $\angle EMA$.

Следовательно, $ME = EA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ME = EA$ доказано.