Номер 4.2, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.2. Докажите, что хорда, не проходящая через центр окружности, меньше ее диаметра.

4.2. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Диаметр окружности $D$ по определению равен двум радиусам: $D = 2R$.

Рассмотрим произвольную хорду $AB$, которая по условию не проходит через центр $O$. Соединим концы этой хорды, точки $A$ и $B$, с центром окружности $O$.

Поскольку хорда $AB$ не проходит через центр, точки $A$, $O$ и $B$ не лежат на одной прямой. Следовательно, они образуют треугольник $\triangle AOB$.

Сторонами этого треугольника являются отрезки $OA$, $OB$ и $AB$. Так как точки $A$ и $B$ лежат на окружности, отрезки $OA$ и $OB$ являются ее радиусами. Таким образом, их длины равны $R$: $OA = R$ и $OB = R$.

Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон. Применим это неравенство к стороне $AB$ треугольника $\triangle AOB$: $AB < OA + OB$

Подставим в это неравенство значения длин сторон $OA$ и $OB$: $AB < R + R$ $AB < 2R$

Поскольку диаметр окружности $D = 2R$, мы получаем итоговое неравенство: $AB < D$

Таким образом, доказано, что любая хорда, не проходящая через центр окружности, меньше ее диаметра. Ответ: Что и требовалось доказать.