Номер 4.3, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.3. Даны окружность и отрезок. Постройте хорду, равную данному отрезку.

Для построения хорды, равной данному отрезку, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку без делений.

Дано:

Окружность ω с центром O и радиусом R, и отрезок PQ, длина которого равна a.

Построить:

Хорду AB окружности ω, такую, что её длина $|AB| = a$.

Построение:

1. На окружности ω выберем произвольную точку A. Она будет одним из концов будущей хорды.
2. С помощью циркуля измерим длину данного отрезка PQ. Для этого установим ножку циркуля в точку P, а грифель — в точку Q. Раствор циркуля теперь равен a.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку A на окружности ω.
4. Проведем дугу так, чтобы она пересекла окружность ω. Обозначим точку пересечения как B.
5. С помощью линейки соединим точки A и B.

Отрезок AB является искомой хордой.

Доказательство:

По построению точка A лежит на окружности ω. Точка B является точкой пересечения окружности ω и дуги, проведенной из центра A. Следовательно, точка B также лежит на окружности ω. Поскольку оба конца отрезка AB лежат на окружности, AB является хордой этой окружности. Длина хорды AB равна радиусу дуги, которую мы построили с центром в точке A. Этот радиус по построению равен длине отрезка PQ, то есть a. Таким образом, $|AB| = a$. Построение верное.

Исследование:

Задача имеет решение не при любой длине отрезка a. Пусть D — диаметр данной окружности, то есть $D = 2R$.

• Если $a > D$, то дуга, построенная из точки A радиусом a, не пересечет исходную окружность, и построить хорду будет невозможно. В этом случае задача не имеет решений.
• Если $a = D$, то точка пересечения B будет диаметрально противоположна точке A. Для любой точки A на окружности существует единственное такое решение (хорда будет являться диаметром).
• Если $0 < a < D$, то дуга, построенная из точки A, пересечет окружность ω в двух точках (симметричных относительно прямой OA). Это означает, что из любой точки A можно построить две искомые хорды.

Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда длина данного отрезка не превышает диаметра данной окружности, то есть $a \le 2R$.

Ответ: Искомая хорда AB построена в соответствии с описанным алгоритмом.