Номер 10, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. По рисунку найдите CD.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрические функции.

Из рисунка видно, что `△ABC` является прямоугольным треугольником, так как `∠ACB = 90°`. Точка `D` лежит на катете `BC`, поэтому `△ACD` также является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине `C`.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• Угол `∠ADC = 60°` (судя по расположению дуги угла).
• Угол `∠ABC = 30°`.
• Длина отрезка `DB = 10` см.

Наша цель — найти длину отрезка `CD`. Обозначим `CD = x`.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `△ACD`. В нём катет `AC` является противолежащим углу `∠ADC`, а катет `CD` — прилежащим. Мы можем выразить `AC` через `CD` с помощью тангенса: `\tan(∠ADC) = \frac{AC}{CD}` `\tan(60°) = \frac{AC}{x}` Так как `\tan(60°) = \sqrt{3}`, мы получаем первое выражение для `AC`: `AC = x \cdot \sqrt{3}`

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник `△ABC`. Длина его катета `BC` равна сумме длин отрезков `CD` и `DB`: `BC = CD + DB = x + 10` В этом треугольнике катет `AC` является противолежащим углу `∠ABC`. Выразим `AC` через `BC` и `∠ABC`: `\tan(∠ABC) = \frac{AC}{BC}` `\tan(30°) = \frac{AC}{x + 10}` Так как `\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}`, мы получаем второе выражение для `AC`: `AC = (x + 10) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x + 10}{\sqrt{3}}`

Теперь у нас есть два выражения для длины катета `AC`. Приравняем их, чтобы составить уравнение и найти `x`: `x\sqrt{3} = \frac{x + 10}{\sqrt{3}}` Умножим обе части уравнения на `\sqrt{3}`: `x\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = x + 10` `3x = x + 10` Перенесем слагаемые с `x` в левую часть уравнения: `3x - x = 10` `2x = 10` Разделим обе части на 2: `x = \frac{10}{2}` `x = 5`

Таким образом, длина отрезка `CD` равна 5 см.

Ответ: 5 см