Номер 6, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6. Дано: $\text{BK}$ — высота, $AK = KC$, $\angle C = 48^\circ$.

Найти $\angle ABK$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, отрезок $BK$ является высотой, проведённой к стороне $AC$. Это означает, что $BK$ перпендикулярен $AC$, и следовательно, угол $\angle BKA$ является прямым: $\angle BKA = 90^\circ$.

Также по условию задано, что $AK = KC$. Это означает, что точка $K$ является серединой стороны $AC$, следовательно, отрезок $BK$ является медианой треугольника $ABC$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $BK$ является одновременно и высотой, и медианой. По признаку равнобедренного треугольника, если высота к стороне совпадает с медианой к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным. В данном случае, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, $\angle A = \angle C$.

Из условия задачи известно, что $\angle C = 48^\circ$. Следовательно, $\angle A$ также равен $48^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (поскольку $\angle BKA = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $ABK$ это означает:

$\angle A + \angle ABK = 90^\circ$

Мы можем найти искомый угол $\angle ABK$, подставив известное значение угла $\angle A$:

$48^\circ + \angle ABK = 90^\circ$

$\angle ABK = 90^\circ - 48^\circ$

$\angle ABK = 42^\circ$

Ответ: $42^\circ$.