Номер 3.72, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.72. Отрезки $\text{AB}$ и $\text{CD}$ пересекаются в точке $\text{O}$, которая является серединой каждого из них. Докажите, что

Поскольку текст вопроса на изображении обрывается, мы докажем два наиболее вероятных утверждения, которые следуют из данного условия: равенство одной пары треугольников и параллельность соответствующих сторон.

а) Докажем, что $\triangle AOC = \triangle BOD$

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

Согласно условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них. Это означает:

1. $AO = BO$, так как точка $O$ является серединой отрезка $AB$.
2. $CO = DO$, так как точка $O$ является серединой отрезка $CD$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $AB$ и $CD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOC = \angle BOD$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $AOC$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $BOD$.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), мы можем заключить, что $\triangle AOC = \triangle BOD$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ доказано, что и требовалось доказать.

б) Докажем, что $AC \parallel BD$

Из равенства треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$, которое мы доказали в пункте а), следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов.

В частности, угол $\angle CAO$ треугольника $\triangle AOC$ равен соответствующему углу $\angle DBO$ треугольника $\triangle BOD$. То есть, $\angle CAO = \angle DBO$.

Рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и секущую $AB$. Углы $\angle CAO$ (или $\angle CAB$) и $\angle DBO$ (или $\angle DBA$) являются внутренними накрест лежащими углами при этих прямых и секущей.

Так как мы установили, что эти внутренние накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности двух прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Ответ: Параллельность прямых $AC$ и $BD$ доказана, что и требовалось доказать.

Примечание: Аналогичным образом можно доказать, что $\triangle AOD = \triangle BOC$ и, как следствие, $AD \parallel BC$. В итоге получается, что четырехугольник $ACBD$ является параллелограммом, так как его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.