Номер 3.68, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.68. Докажите, что медиана треугольника не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Пусть в произвольном треугольнике $ABC$ из вершины $B$ к стороне $AC$ проведены медиана $BM$ и высота $BH$.

По определению, медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой $M$ стороны $AC$. Высота $BH$ является перпендикуляром, опущенным из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Это означает, что угол $\angle BHA$ (или $\angle BHC$) является прямым.

Рассмотрим треугольник $BHM$. Точка $H$ (основание высоты) и точка $M$ (середина стороны) лежат на одной прямой $AC$. Так как $BH \perp AC$, то угол $\angle BHM$ является прямым, то есть $\angle BHM = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $BHM$ — прямоугольный. В этом треугольнике медиана $BM$ является гипотенузой (так как она лежит напротив прямого угла), а высота $BH$ — одним из катетов.

В любом прямоугольном треугольнике длина гипотенузы не меньше длины любого из катетов. Это следует, например, из теоремы Пифагора: $BM^2 = BH^2 + HM^2$. Поскольку квадрат длины отрезка $HM$ является неотрицательной величиной ($HM^2 \ge 0$), мы получаем неравенство $BM^2 \ge BH^2$. Так как длины отрезков не могут быть отрицательными, из этого следует, что $BM \ge BH$.

Равенство $BM = BH$ достигается тогда и только тогда, когда $HM = 0$, то есть когда точки $M$ и $H$ совпадают. Это означает, что медиана, проведенная из вершины $B$, одновременно является и высотой. Такое возможно, например, в равнобедренном треугольнике, где $AB=BC$.

Таким образом, доказано, что медиана треугольника, проведенная из некоторой вершины, не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: Медиана ($m$) и высота ($h$), проведенные из одной и той же вершины треугольника, являются соответственно гипотенузой и катетом одного и того же прямоугольного треугольника. Поскольку гипотенуза в прямоугольном треугольнике не может быть короче катета, всегда выполняется неравенство $m \ge h$.