Номер 3.61, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.61. В треугольнике $ABC$ угол $\text{B}$ равен $70^\circ$. Биссектриса этого угла пересекает сторону $\text{AC}$ в точке $\text{D}$. Известно, что $BD = DC$. Докажите, что $AB < AC$.

По условию задачи в треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $70^\circ$, а отрезок $BD$ является биссектрисой этого угла. Биссектриса делит угол пополам, следовательно, углы $\angle ABD$ и $\angle DBC$ равны: $\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

Также по условию известно, что $BD = DC$. Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, угол $\angle DCB$ (который также является углом $C$ всего треугольника $ABC$) равен углу $\angle DBC$.

$\angle C = \angle DCB = \angle DBC = 35^\circ$.

Теперь рассмотрим соотношение сторон и углов в треугольнике $ABC$. В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ лежит напротив угла $C$, а сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.

Сравним величины углов $B$ и $C$: $\angle B = 70^\circ$ и $\angle C = 35^\circ$.

Так как $\angle C < \angle B$ ($35^\circ < 70^\circ$), то и сторона, лежащая напротив угла $C$, меньше стороны, лежащей напротив угла $B$. Следовательно, $AB < AC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $AB < AC$ доказано.