Номер 3.57, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. Могут ли стороны треугольника относиться как:

1) $2:3:4$

2) $2:3:5$?

Для того чтобы определить, могут ли стороны треугольника иметь заданное отношение, необходимо применить неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Для проверки достаточно убедиться, что сумма длин двух меньших сторон больше длины наибольшей стороны.

1) 2 : 3 : 4

Пусть длины сторон треугольника пропорциональны числам 2, 3 и 4. Тогда их можно записать как $2x$, $3x$ и $4x$ для некоторого положительного коэффициента $x$. Проверим неравенство для самой длинной стороны ($4x$) и двух других ($2x$ и $3x$): $2x + 3x > 4x$. Упростив левую часть, получаем $5x > 4x$. Поскольку $x > 0$, это неравенство верно. Значит, такой треугольник может существовать.

Ответ: да, могут.

2) 2 : 3 : 5

Пусть длины сторон треугольника пропорциональны числам 2, 3 и 5. Тогда их можно записать как $2x$, $3x$ и $5x$ для некоторого положительного коэффициента $x$. Проверим неравенство для самой длинной стороны ($5x$) и двух других ($2x$ и $3x$): $2x + 3x > 5x$. Упростив левую часть, получаем $5x > 5x$. Это неравенство неверно, так как $5x$ не больше, а равно $5x$. В этом случае треугольник является вырожденным (его вершины лежат на одной прямой). Следовательно, невырожденный треугольник с таким отношением сторон существовать не может.

Ответ: нет, не могут.