Практические задания, страница 74 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Начертите треугольник с неравными сторонами. С помощью измерительной линейки проверьте справедливость теорем 1 и 2.

Для выполнения этого задания необходимо сначала начертить на бумаге треугольник, у которого все стороны имеют разную длину (разносторонний треугольник). Назовем его вершины $A$, $B$ и $C$.

Далее, с помощью измерительной линейки нужно измерить длины всех трех сторон. Для наглядности предположим, что в результате измерений мы получили следующие значения:

• Длина стороны $BC$ (обозначим ее $a$) равна $5$ см.
• Длина стороны $AC$ (обозначим ее $b$) равна $8$ см.
• Длина стороны $AB$ (обозначим ее $c$) равна $7$ см.

Теперь, имея конкретный треугольник с измеренными сторонами, мы можем проверить справедливость теорем.

Теорема 1

Так как в задании не указаны формулировки теорем, будем исходить из стандартной программы. Как правило, одной из первых доказываемых теорем, связывающих стороны и углы, является следующая: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Проверим ее справедливость на нашем примере:

1. С помощью линейки мы установили длины сторон: $a=5$ см, $b=8$ см, $c=7$ см.
2. Расположим стороны в порядке убывания их длин: $b > c > a$ или $AC > AB > BC$ ($8 > 7 > 5$).
3. Углы, лежащие напротив этих сторон, это $\angle B$ (напротив стороны $AC$), $\angle C$ (напротив стороны $AB$) и $\angle A$ (напротив стороны $BC$).
4. Согласно теореме, из неравенства для сторон должно следовать аналогичное неравенство для противолежащих углов: $\angle B > \angle C > \angle A$.
5. Для проверки этого вывода можно либо визуально оценить углы, либо измерить их транспортиром. При измерении мы бы обнаружили, что угол $\angle B$ является самым большим, а угол $\angle A$ — самым маленьким. (Для справки, точные значения для такого треугольника: $\angle B \approx 81.8^\circ$, $\angle C = 60^\circ$, $\angle A \approx 38.2^\circ$).

Поскольку неравенство для углов $\angle B > \angle C > \angle A$ выполняется, мы экспериментально подтвердили справедливость теоремы.

Ответ: Проверка с помощью измерений показывает, что в начерченном треугольнике против большей стороны действительно лежит больший угол, а против меньшей стороны — меньший, что подтверждает справедливость теоремы о соотношении сторон и углов треугольника.

Теорема 2

В качестве второй теоремы рассмотрим неравенство треугольника, которое гласит: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Эта теорема проверяется только с помощью линейки.

Проверим ее для нашего треугольника со сторонами $a=5$ см, $b=8$ см и $c=7$ см.

1. Проверим, меньше ли сторона $a$ суммы сторон $b$ и $c$:

   $a < b+c \implies 5 < 8+7 \implies 5 < 15$. Неравенство верно.

2. Проверим, меньше ли сторона $b$ суммы сторон $a$ и $c$:

   $b < a+c \implies 8 < 5+7 \implies 8 < 12$. Неравенство верно.

3. Проверим, меньше ли сторона $c$ суммы сторон $a$ и $b$:

   $c < a+b \implies 7 < 5+8 \implies 7 < 13$. Неравенство верно.

Все три проверки дали положительный результат. Это означает, что наш треугольник (и любой другой) подчиняется этому правилу.

Ответ: Измерения длин сторон и последующая проверка подтверждают, что каждая сторона начерченного треугольника меньше суммы двух других сторон. Таким образом, справедливость теоремы о неравенстве треугольника подтверждена.