Номер 3.45, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.45. Найдите углы прямоугольного треугольника, если биссектрисы одного из острых углов и прямого угла пересекаются под углом $70^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть $\angle A$ и $\angle B$ — его острые углы.

Проведем биссектрису прямого угла $CD$ и биссектрису одного из острых углов, например, угла $A$ — $AE$. Пусть точка $O$ — точка их пересечения.

Поскольку $CD$ — биссектриса угла $C$, то $\angle ACD = \frac{1}{2} \angle C = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Поскольку $AE$ — биссектриса угла $A$, то $\angle CAE = \frac{1}{2} \angle A$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$, образованный пересечением биссектрис. Сумма углов в этом треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle AOC + \angle OAC + \angle OCA = 180^\circ$

$\angle OAC$ это то же самое, что и $\angle CAE$, а $\angle OCA$ это то же самое, что и $\angle ACD$.

$\angle AOC + \frac{1}{2}\angle A + 45^\circ = 180^\circ$

Биссектрисы пересекаются под углом $70^\circ$. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Одна пара острых углов, другая — смежных им тупых. Угол $\angle AOC$ внутри треугольника $\triangle AOC$ не может быть острым. Покажем это: $\angle AOC = 180^\circ - 45^\circ - \frac{\angle A}{2} = 135^\circ - \frac{\angle A}{2}$. Поскольку $\angle A$ — острый угол в прямоугольном треугольнике, то $0 < \angle A < 90^\circ$, следовательно $0 < \frac{\angle A}{2} < 45^\circ$. Тогда $135^\circ - 45^\circ < \angle AOC < 135^\circ - 0^\circ$, то есть $90^\circ < \angle AOC < 135^\circ$. Это означает, что угол $\angle AOC$ является тупым. Следовательно, данный в условии угол $70^\circ$ — это острый угол при пересечении биссектрис, а смежный с ним тупой угол $\angle AOC$ равен $180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.

Теперь мы можем найти величину угла $A$:

$110^\circ + \frac{1}{2}\angle A + 45^\circ = 180^\circ$

$\frac{1}{2}\angle A + 155^\circ = 180^\circ$

$\frac{1}{2}\angle A = 180^\circ - 155^\circ$

$\frac{1}{2}\angle A = 25^\circ$

$\angle A = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$

Мы нашли один из острых углов треугольника. Теперь найдем второй острый угол $\angle B$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$:

$\angle A + \angle B = 90^\circ$

$50^\circ + \angle B = 90^\circ$

$\angle B = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$

Таким образом, углы прямоугольного треугольника равны $40^\circ$, $50^\circ$ и $90^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.