Номер 3.40, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.40. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен $115^\circ$. Найдите все углы треугольника.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. Зная, что один из внешних углов равен $115^\circ$, мы можем найти соответствующий ему внутренний угол треугольника:

$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$

Таким образом, один из углов треугольника равен $65^\circ$. Поскольку треугольник равнобедренный, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Угол в $65^\circ$ является одним из двух равных углов при основании.

Если один из углов при основании равен $65^\circ$, то и второй угол при основании тоже равен $65^\circ$, так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол (угол при вершине), который обозначим как $\alpha$:

$\alpha + 65^\circ + 65^\circ = 180^\circ$

$\alpha + 130^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 130^\circ$

$\alpha = 50^\circ$

В этом случае углы треугольника равны $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.

Ответ: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$.

Случай 2: Угол в $65^\circ$ является углом при вершине.

Если угол при вершине равен $65^\circ$, то два других угла (углы при основании) равны между собой. Обозначим каждый из этих равных углов как $\beta$.

Используя теорему о сумме углов треугольника, получаем:

$65^\circ + \beta + \beta = 180^\circ$

$65^\circ + 2\beta = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 65^\circ$

$2\beta = 115^\circ$

$\beta = \frac{115^\circ}{2}$

$\beta = 57.5^\circ$

В этом случае углы треугольника равны $65^\circ, 57.5^\circ, 57.5^\circ$.

Ответ: $57.5^\circ, 57.5^\circ, 65^\circ$.