Номер 3.34, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.34. Углы треугольника пропорциональны числам 3, 8 и 5. Докажите, что этот треугольник прямоугольный.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По условию, они пропорциональны числам 3, 8 и 5. Это означает, что существует такой коэффициент пропорциональности $x$, что углы можно выразить как $\alpha = 3x$, $\beta = 8x$ и $\gamma = 5x$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Используя это свойство, составим уравнение: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Подставим выражения для углов через $x$:

$3x + 8x + 5x = 180^\circ$.

Решим это уравнение:

$16x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{16} = \frac{45^\circ}{4} = 11.25^\circ$.

Теперь, зная коэффициент $x$, найдем величины каждого из углов треугольника:

Первый угол: $3 \cdot 11.25^\circ = 33.75^\circ$.

Второй угол: $8 \cdot 11.25^\circ = 90^\circ$.

Третий угол: $5 \cdot 11.25^\circ = 56.25^\circ$.

Поскольку один из углов треугольника равен $90^\circ$, по определению такой треугольник является прямоугольным.

Ответ: углы треугольника равны $33.75^\circ$, $90^\circ$ и $56.25^\circ$. Так как один из углов прямой ($90^\circ$), треугольник является прямоугольным, что и требовалось доказать.