Номер 3.38, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.38. В треугольнике $ABC$ $AB = 18$ см, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 90^\circ$. Найдите:

1) расстояние от точки $\text{A}$ до прямой $\text{BC}$;

2) длину проекции наклонной $\text{AB}$ на прямую $\text{AC}$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 18$ см, и угол $\angle B = 30^\circ$.

1) расстояние от точки А до прямой ВС

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Следовательно, искомое расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно длине катета $AC$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $AC$ лежит напротив угла $\angle B = 30^\circ$.

Таким образом, $AC = \frac{1}{2} \cdot AB$.

$AC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Этот же результат можно получить с помощью определения синуса:

$\sin(\angle B) = \frac{AC}{AB}$

$AC = AB \cdot \sin(\angle B) = 18 \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

2) длину проекции наклонной АВ на прямую АС

Проекция отрезка на прямую – это отрезок, концами которого являются проекции концов исходного отрезка на эту прямую. В данном случае, $AB$ – это наклонная к прямой $AC$.

Проекцией точки $A$ на прямую $AC$ является сама точка $A$, так как она принадлежит этой прямой.

Проекцией точки $B$ на прямую $AC$ является основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AC$. Поскольку угол $C$ прямой ($\angle C = 90^\circ$), то отрезок $BC$ перпендикулярен прямой $AC$. Следовательно, точка $C$ является проекцией точки $B$ на прямую $AC$.

Таким образом, проекцией наклонной $AB$ на прямую $AC$ является отрезок $AC$. Требуется найти его длину.

Длина катета $AC$ была найдена в предыдущем пункте.

$AC = 9$ см.

Ответ: 9 см.