Номер 3.43, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.43. Найдите углы прямоугольного треугольника, если высота, проведенная из вершины прямого угла, образует с одним из катетов угол $50^\circ$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CD$ на гипотенузу $AB$. По определению, высота перпендикулярна стороне, к которой она проведена, значит $\angle CDA = 90^\circ$.

По условию задачи, высота $CD$ образует с одним из катетов угол $50^\circ$. Допустим, этот катет — $AC$. Тогда $\angle ACD = 50^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Он является прямоугольным, так как $\angle CDA = 90^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла в треугольнике $ADC$, мы можем найти третий угол, $\angle A$: $\angle A = 180^\circ - \angle CDA - \angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.

Теперь, зная два угла в исходном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 40^\circ$), мы можем найти третий угол, $\angle B$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.

Таким образом, углы искомого прямоугольного треугольника равны $40^\circ$, $50^\circ$ и $90^\circ$.

(Если бы высота образовывала угол $50^\circ$ с другим катетом, $BC$, то $\angle B$ был бы равен $40^\circ$, а $\angle A$ — $50^\circ$. Набор углов треугольника остался бы тем же).

Ответ: $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.