Номер 3.41, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.41. В треугольнике ABC $\angle A = \angle B = 45^\circ$ и $AB = 19$ см. Найдите:

1) расстояние от точки $\text{C}$ до прямой $\text{AB}$;

2) длину проекции отрезка $\text{AC}$ на прямую $\text{AB}$ (рис. 3.18).

Рис. 3.18

1) Поскольку в треугольнике $ABC$ углы при основании $AB$ равны ($ \angle A = \angle B = 45^\circ $), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$. Обозначим этот перпендикуляр $CD$, где $D$ — точка на прямой $AB$. Таким образом, $CD$ является высотой треугольника $ABC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка $D$ является серединой отрезка $AB$, и $AD = DB = \frac{AB}{2}$.

$AD = \frac{19}{2} = 9,5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. Угол $\angle ADC = 90^\circ$. Угол $\angle A = 45^\circ$ по условию. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle ACD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Так как в треугольнике $ADC$ два угла равны ($\angle A = \angle ACD = 45^\circ$), он является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $CD = AD$.

Следовательно, расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ равно $CD = AD = 9,5$ см.

Ответ: 9,5 см.

2) Проекцией отрезка $AC$ на прямую $AB$ является отрезок, концами которого служат проекции точек $A$ и $C$ на эту прямую.

Проекцией точки $A$ на прямую $AB$ является сама точка $A$.

Проекцией точки $C$ на прямую $AB$ является основание перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$, то есть точка $D$.

Следовательно, проекцией отрезка $AC$ на прямую $AB$ является отрезок $AD$.

Как было найдено в предыдущем пункте, длина отрезка $AD$ равна:

$AD = \frac{AB}{2} = \frac{19}{2} = 9,5$ см.

Ответ: 9,5 см.