Номер 3.42, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.42. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $\text{AC}$ проведена биссектриса $\text{AD}$. Найдите углы треугольника, если $\angle ADB = 110^\circ$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

В треугольнике проведена биссектриса $AD$, которая делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle DAC$.

Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол на прямой $BC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Зная, что $\angle ADB = 110^\circ$, найдем величину угла $\angle ADC$:

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Для нахождения углов треугольника введем переменную. Пусть величина угла $\angle DAC$ равна $x$.

Поскольку $AD$ — биссектриса, то $\angle BAC = 2 \cdot \angle DAC = 2x$.

Так как углы при основании равнобедренного треугольника $ABC$ равны, то $\angle BCA = \angle BAC = 2x$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$:

$\angle DAC + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$.

Подставим в это равенство известные и выраженные через $x$ величины углов:

$x + 2x + 70^\circ = 180^\circ$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$3x + 70^\circ = 180^\circ$

$3x = 180^\circ - 70^\circ$

$3x = 110^\circ$

$x = \frac{110^\circ}{3}$.

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти все углы исходного треугольника $ABC$.

Углы при основании $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A = \angle C = 2x = 2 \cdot \frac{110^\circ}{3} = \frac{220^\circ}{3} = 73\frac{1}{3}^\circ$.

Угол при вершине $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (2x + 2x) = 180^\circ - 4x = 180^\circ - 4 \cdot \frac{110^\circ}{3} = 180^\circ - \frac{440^\circ}{3} = \frac{540^\circ - 440^\circ}{3} = \frac{100^\circ}{3} = 33\frac{1}{3}^\circ$.

Ответ: $\angle A = 73\frac{1}{3}^\circ$, $\angle B = 33\frac{1}{3}^\circ$, $\angle C = 73\frac{1}{3}^\circ$.