Номер 3.39, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны ($AB = BC$) и углы при основании равны. Обозначим углы при основании как $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол при вершине $B$ равен $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - 2\alpha$.

Рассмотрим внешний угол при вершине $B$. Для этого продлим сторону $AB$ за вершину $B$. Пусть $D$ — точка на продолжении этой прямой. Тогда угол $\angle DBC$ — это внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $B$. Внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle DBC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha$.

Другой способ найти величину внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, $\angle DBC = \angle BAC + \angle BCA = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Пусть $BE$ — биссектриса внешнего угла $\angle DBC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:

$\angle EBC = \frac{\angle DBC}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$.

Теперь рассмотрим прямые $BE$ и $AC$ и секущую $BC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle BCA$ являются накрест лежащими. Мы установили, что $\angle EBC = \alpha$ и $\angle BCA = \alpha$. Следовательно, $\angle EBC = \angle BCA$.

Поскольку накрест лежащие углы при прямых $BE$, $AC$ и секущей $BC$ равны, то по признаку параллельности прямых, прямая $BE$ параллельна прямой $AC$.

Ответ: Утверждение доказано: биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.