Номер 3.32, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.32. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен:

1) $40^\circ$;

2) $60^\circ$;

3) $100^\circ$.

1) Основное свойство любого треугольника — сумма его углов равна $180^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Данный угол в $40^\circ$ может быть либо углом при основании, либо углом при вершине, противолежащей основанию. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Угол при основании равен $40^\circ$.

Если один из углов при основании равен $40^\circ$, то и второй угол при основании также равен $40^\circ$. Тогда третий угол (угол при вершине) можно найти так:

$180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Углы треугольника: $40^\circ$, $40^\circ$, $100^\circ$.

Случай 2: Угол при вершине равен $40^\circ$.

Если угол при вершине равен $40^\circ$, то два других угла (углы при основании) равны. Сумма этих двух углов равна:

$180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

Поскольку углы при основании равны, каждый из них равен:

$140^\circ / 2 = 70^\circ$.

Углы треугольника: $70^\circ$, $70^\circ$, $40^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$ или $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$.

2) Рассмотрим равнобедренный треугольник, в котором один из углов равен $60^\circ$.

Случай 1: Угол при основании равен $60^\circ$.

Если один из углов при основании равен $60^\circ$, то и второй угол при основании равен $60^\circ$. Третий угол (при вершине) равен:

$180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Все три угла равны $60^\circ$.

Случай 2: Угол при вершине равен $60^\circ$.

Если угол при вершине равен $60^\circ$, то на два равных угла при основании приходится:

$180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Каждый из углов при основании равен:

$120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Все три угла снова равны $60^\circ$.

В обоих случаях получается равносторонний треугольник. Углы треугольника: $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

3) Рассмотрим равнобедренный треугольник, в котором один из углов равен $100^\circ$.

Случай 1: Угол при основании равен $100^\circ$.

Если бы угол при основании был равен $100^\circ$, то и второй угол при основании был бы равен $100^\circ$. Их сумма была бы $100^\circ + 100^\circ = 200^\circ$. Это противоречит теореме о сумме углов треугольника ($180^\circ$). Следовательно, угол при основании не может быть равен $100^\circ$. В равнобедренном треугольнике тупым может быть только угол при вершине.

Случай 2: Угол при вершине равен $100^\circ$.

Этот случай является единственно возможным. Если угол при вершине равен $100^\circ$, то сумма двух равных углов при основании составляет:

$180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Каждый из углов при основании равен:

$80^\circ / 2 = 40^\circ$.

Углы треугольника: $40^\circ$, $40^\circ$, $100^\circ$.

Ответ: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.