Номер 3.28, страница 69 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.28. Сумма внешних углов треугольника $ABC$ при вершинах $\text{A}$ и $\text{B}$, взятых по одному для каждой вершины, равна $240^\circ$. Найдите угол $\text{C}$.

Пусть внутренние углы треугольника $ABC$ равны $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. Внешний угол при вершине треугольника и внутренний угол при той же вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$.

Обозначим внешний угол при вершине $A$ как $\angle A_{внешн}$, а при вершине $B$ как $\angle B_{внешн}$. Тогда справедливы равенства:

$\angle A_{внешн} = 180^\circ - \angle A$

$\angle B_{внешн} = 180^\circ - \angle B$

Согласно условию задачи, сумма этих внешних углов составляет $240^\circ$:

$\angle A_{внешн} + \angle B_{внешн} = 240^\circ$

Подставим выражения для внешних углов в это уравнение:

$(180^\circ - \angle A) + (180^\circ - \angle B) = 240^\circ$

Выполним преобразования:

$360^\circ - \angle A - \angle B = 240^\circ$

$360^\circ - (\angle A + \angle B) = 240^\circ$

Из этого уравнения найдем сумму внутренних углов $\angle A$ и $\angle B$:

$\angle A + \angle B = 360^\circ - 240^\circ$

$\angle A + \angle B = 120^\circ$

Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Подставив известное значение суммы $\angle A + \angle B$, получим:

$120^\circ + \angle C = 180^\circ$

Теперь найдем искомый угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - 120^\circ$

$\angle C = 60^\circ$

Ответ: $60^\circ$.