Номер 3.24, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.24. Две стороны одного угла взаимно перпендикулярны соответствующим сторонам другого угла, а другие стороны – взаимно параллельны. Найдите сумму этих углов.

Пусть дан один угол с величиной $ \alpha $ и сторонами $a_1$ и $a_2$, и второй угол с величиной $ \beta $ и сторонами $b_1$ и $b_2$.

Согласно условию задачи, одна пара соответствующих сторон взаимно параллельна, а другая — взаимно перпендикулярна. Без потери общности, пусть $a_1 \parallel b_1$ и $a_2 \perp b_2$.

Для нахождения связи между углами $ \alpha $ и $ \beta $ удобно расположить их так, чтобы их вершины и одна пара сторон совпадали. Совместим вершины углов в одной точке $O$. Поскольку стороны $a_1$ и $b_1$ параллельны, мы можем направить их по одному лучу. Пусть этот луч будет $Ox$.

Таким образом, сторона $a_1$ и сторона $b_1$ лежат на луче $Ox$.

Сторона $a_2$ образует с лучом $Ox$ угол $ \alpha $.

Сторона $b_2$ образует с лучом $Ox$ угол $ \beta $.

По условию, стороны $a_2$ и $b_2$ взаимно перпендикулярны, то есть угол между ними составляет $90^\circ$.

Рассмотрим два возможных случая расположения сторон $a_2$ и $b_2$ относительно общего луча $Ox$.

1. Стороны $a_2$ и $b_2$ лежат по одну сторону от луча $Ox$.

В этом случае угол между сторонами $a_2$ и $b_2$ равен разности углов, которые они образуют с лучом $Ox$. $|\alpha - \beta| = 90^\circ$. В этом случае сумма углов $ \alpha + \beta $ не является постоянной величиной (например, если $ \alpha = 100^\circ $, то $ \beta = 10^\circ $, и их сумма $110^\circ$; а если $ \alpha = 120^\circ $, то $ \beta = 30^\circ $, и их сумма $150^\circ$). Это не соответствует условию задачи, которое предполагает нахождение единственного значения суммы.

2. Стороны $a_2$ и $b_2$ лежат по разные стороны от луча $Ox$.

В этом случае угол между сторонами $a_2$ и $b_2$ равен сумме углов, которые они образуют с лучом $Ox$. $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Существует также третья возможность, когда параллельные стороны направлены в противоположные стороны. Это может привести к результату $ \alpha + \beta = 270^\circ $ (например, $ \alpha=150^\circ, \beta=120^\circ $). Однако в стандартных задачах школьной геометрии обычно рассматриваются углы меньше $180^\circ$ и наиболее простые конфигурации. Конфигурация, дающая в сумме $90^\circ$, является наиболее основной.

Таким образом, наиболее вероятный ответ, соответствующий стандартной постановке задачи — $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.