Номер 3.22, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Докажите, что если при пересечении секущей двух прямых a и b накрест лежащие углы не равны, то прямые a и b пересекаются.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного (лат. reductio ad absurdum).

Пусть даны две прямые a и b, которые пересекает третья прямая, называемая секущей. Обозначим одну из пар образовавшихся накрест лежащих углов как $∠1$ и $∠2$. Согласно условию задачи, эти углы не равны, то есть $∠1 \neq ∠2$. Требуется доказать, что прямые a и b пересекаются.

Предположим обратное тому, что требуется доказать: пусть прямые a и b не пересекаются. Если две различные прямые на плоскости не пересекаются, то они параллельны. Следовательно, наше предположение заключается в том, что прямая a параллельна прямой b ($a \parallel b$).

Теперь рассмотрим следствия этого предположения. Существует основное свойство параллельных прямых, которое гласит: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Исходя из нашего предположения, что $a \parallel b$, должно выполняться равенство $∠1 = ∠2$.

Однако, полученный вывод ($∠1 = ∠2$) прямо противоречит исходному условию задачи, в котором сказано, что $∠1 \neq ∠2$.

Поскольку наше предположение ($a \parallel b$) привело к логическому противоречию с условием, это предположение неверно. Следовательно, утверждение о том, что прямые a и b не пересекаются, является ложным.

Таким образом, единственно верным заключением является то, что прямые a и b пересекаются.

Ответ: Что и требовалось доказать.