Номер 3.21, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.21*. Даны две прямые $\text{a}$ и $\text{b}$. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую $\text{a}$, пересекает и прямую $\text{b}$, то прямые $\text{a}$ и $\text{b}$ параллельны.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Если две прямые на плоскости не параллельны, они либо пересекаются в одной точке, либо совпадают.

Рассмотрим случай, когда прямые $a$ и $b$ не совпадают. Наше предположение о том, что они не параллельны, означает, что они пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку пересечения как $P$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ различны, на прямой $a$ существует по крайней мере еще одна точка, отличная от $P$. Назовем эту точку $Q$. Точка $Q$ лежит на прямой $a$, но не лежит на прямой $b$, так как $P$ является их единственной общей точкой.

Теперь у нас есть прямая $b$ и точка $Q$, не принадлежащая этой прямой. Согласно аксиоме о параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Проведем через точку $Q$ прямую $c$, параллельную прямой $b$ ($c \parallel b$).

Проанализируем свойства построенной прямой $c$:

1. Прямая $c$ пересекает прямую $a$. Это следует из построения, поскольку точка $Q$ принадлежит обеим прямым ($Q \in a$ и $Q \in c$).

2. Согласно условию задачи, любая прямая, пересекающая прямую $a$, должна пересекать и прямую $b$. Следовательно, прямая $c$ должна пересекать прямую $b$.

Однако по нашему построению прямая $c$ параллельна прямой $b$. По определению, параллельные прямые не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

Таким образом, мы пришли к противоречию: прямая $c$ должна пересекать прямую $b$ (согласно условию задачи) и в то же время не должна пересекать прямую $b$ (по нашему построению).

Это противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что прямые $a$ и $b$ не параллельны (и при этом не совпадают). Следовательно, это предположение неверно. Значит, прямые $a$ и $b$ должны быть параллельны.

(Если бы прямые $a$ и $b$ совпадали, то условие "любая прямая, пересекающая $a$, пересекает и $b$" было бы истинным. Совпадающие прямые часто рассматриваются как частный случай параллельных, и в этом контексте утверждение также верно).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если любая прямая, пересекающая прямую $a$, пересекает и прямую $b$, то прямые $a$ и $b$ параллельны.