Номер 3.25, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.25. $BC \parallel AD$, $CE = ED$. Докажите, что $BE = EF$. Найдите $\text{AD}$, если $BC = 2$ см, $AF = 6$ см (рис. 3.11).

Рис. 3.11

Докажите, что $BE = EF$

Рассмотрим треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle FDE$.

По условию задачи $BC \parallel AD$. Так как точка $F$ лежит на прямой, содержащей отрезок $AD$, то $BC \parallel AF$.

Сравним треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle FDE$ по следующим признакам:

• $CE = ED$ по условию.
• $\angle BCE = \angle FDE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AF$ и секущей $CD$.
• $\angle CEB = \angle DEF$ как вертикальные углы.

Таким образом, $\triangle BCE \cong \triangle FDE$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $BE$ лежит напротив угла $\angle BCE$, а сторона $EF$ лежит напротив равного ему угла $\angle FDE$. Следовательно, $BE = EF$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Найдите $AD$, если $BC = 2$ см, $AF = 6$ см

Как было установлено ранее, $\triangle BCE \cong \triangle FDE$. Из равенства этих треугольников следует и равенство других соответствующих сторон.

Сторона $BC$ в треугольнике $\triangle BCE$ лежит напротив угла $\angle CEB$. Сторона $DF$ в треугольнике $\triangle FDE$ лежит напротив равного ему угла $\angle DEF$. Следовательно, стороны $BC$ и $DF$ равны:

$BC = DF$

Согласно условию, $BC = 2$ см, а значит $DF = 2$ см.

Точки $A, D, F$ лежат на одной прямой, поэтому длина отрезка $AF$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DF$:

$AF = AD + DF$

Чтобы найти длину $AD$, выразим её из полученного равенства:

$AD = AF - DF$

Подставим известные значения $AF = 6$ см и $DF = 2$ см:

$AD = 6 - 2 = 4$ см.

Ответ: 4 см.