Номер 3.20, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.20. Перпендикулярные отрезки $\text{AB}$ и $\text{CD}$ пересекаются в точке $\text{O}$, причем точка $\text{O}$ делит каждый из них пополам. Известно, что $\angle ACD = 60^\circ$. Докажите, что $AD \parallel CB$, и найдите $\angle ABC$.

Докажите, что $AD \parallel CB$

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. По условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая делит каждый из них пополам. Это означает, что $AO = OB$ и $DO = OC$.

Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ равны, так как они являются вертикальными углами.

Таким образом, $\triangle AOD \cong \triangle COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов, в частности $\angle ODA = \angle OCB$.

Углы $\angle ODA$ (или $\angle CDA$) и $\angle OCB$ (или $\angle BCD$) являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении прямых $AD$ и $CB$ секущей $CD$. Поскольку эти накрест лежащие углы равны, то прямые $AD$ и $CB$ параллельны.

Ответ: доказано, что $AD \parallel CB$.

Найдите $\angle ABC$

Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ перпендикулярны по условию ($AB \perp CD$), то угол между ними равен $90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOC$, в котором $\angle AOC = 90^\circ$.

По условию $\angle ACD = 60^\circ$, следовательно, в треугольнике $\triangle AOC$ угол $\angle ACO = 60^\circ$.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, поэтому мы можем найти угол $\angle OAC$:

$\angle OAC = 90^\circ - \angle ACO = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOC$. У них: 1. $AO = BO$ (по условию). 2. Сторона $CO$ — общая. 3. $\angle AOC = \angle BOC = 90^\circ$ (так как $AB \perp CD$, а углы $\angle AOC$ и $\angle BOC$ — смежные, чья сумма $180^\circ$).

Следовательно, $\triangle AOC \cong \triangle BOC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle CBO = \angle CAO$.

Искомый угол $\angle ABC$ — это и есть угол $\angle CBO$. Угол $\angle CAO$ — это найденный нами угол $\angle OAC$.

Таким образом, $\angle ABC = \angle OAC = 30^\circ$.

Ответ: $\angle ABC = 30^\circ$.