Номер 3.14, страница 64 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.14. Концы отрезка AB лежат на параллельных прямых a и b. Прямая, проходящая через середину O этого отрезка, пересекает прямые a и b в точках C и D соответственно. Докажите, что $CO = OD$.

Рассмотрим треугольники $△AOC$ и $△BOD$.

По условию задачи, точка $O$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, $AO = OB$.

По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$). Прямая $AB$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $∠CAO$ и $∠DBO$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $AB$. Следовательно, $∠CAO = ∠DBO$.

Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Углы $∠AOC$ и $∠BOD$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении этих прямых. Следовательно, $∠AOC = ∠BOD$.

Таким образом, в треугольниках $△AOC$ и $△BOD$ сторона $AO$ равна стороне $BO$, угол $∠CAO$ равен углу $∠DBO$, и угол $∠AOC$ равен углу $∠BOD$. Следовательно, треугольник $△AOC$ равен треугольнику $△BOD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CO$ в треугольнике $△AOC$ лежит против угла $∠CAO$. Сторона $OD$ в треугольнике $△BOD$ лежит против угла $∠DBO$. Так как $∠CAO = ∠DBO$, то соответствующие им стороны равны, то есть $CO = OD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $CO = OD$ доказано.